Le lemme de Yoneda et l’opération spirituelle

J’ai déjà dans le passé attiré l’attention sur un penseur tout à fait original et profond, à la fois philosophe, musicologue, physicien et mathématicien (il enseigne la physique mathématique en tout cas), qui s’appelle :

Franck Jedrzejewski

et crée ce qu’il appelle une "ontologie des catégories" (catégories au sens mathématique, pas au sens aristotélicien ou kantien ou weilien) très différente de celle ensembliste de Badiou :

En France du nouveau : la thèse de Franck Jedrzejewski

mon article qui donne le lien de sa thèse , voir aussi cet exposé sur la théorie mathématique des nœuds appliquée à la musicologie, qui donne une idée de son esprit exceptionnellement novateur :

Applications de la théorie des nœuds au domaine musical

Son livre "Ontologie des catégories" est en lecture seulement très partielle sur Google :

Ontologie des catégories

on n’a accès qu’à l’introduction et au chapitre sur la dualité en mathématiques et donc en ontologie (dualité de l’Etre et de l’Un) mais j’ai acheté ce livre, et me propose d’en étudier sur ce blog les princaux thèmes, à commencer dans cet article par le lemme de Yoneda, premier résultat profond en théorie des catégories, que Jedrzejewski aborde en page 29, au chapitre sur les "champs ontologiques", de son livre sur l’ontologie des catégories.

Pour des exposés du lemme de Yoneda :

Lemme de Yoneda

et

Exemple du lemme

et

Wikipédia sur le lemme de Yoneda

Quelques liens en anglais, qui sont à mon sens meilleurs, à commencer par l’article de Tom Leinster :

The Yoneda lemma : what it ´s all about

et des articles de blogs comme :

Abstract nonsense

ou

Unapologetic mathematician

ou

Annoying precision

qui résume bien le sens du lemme :

"Morals of the Yoneda lemma

The Yoneda lemma shows that an object in a category is determined up to isomorphism by the presheaf it represents. In other words, roughly speaking an object is determined by how other objects map into it. I once heard the following colorful analogy for this situation on MO: if one thinks of objects of a category as particles and morphisms as ways to smash one particle into another particle, then the Yoneda lemma says that it is possible to determine the identity of a particle by smashing other particles into it."

Bien sûr je conçois que ces lignes qui résument le lemme ne soient pas aisées à lire pour quelqu’un non familiarisé avec la théorie des catégories :

"Soit C une catégorie localement petite, c’est-à-dire dans laquelle, pour tous objets A et X, les morphismes de A dans X forment un ensemble et pas seulement une classe.
Un objet A de C définit un foncteur Hom covariant hA de C dans la catégorie Ens des ensembles par :

De la sorte, on dispose d’un foncteur contravariant h de C dans la catégorie Fonc(C,Ens) des foncteurs covariants de C dans Ens. Tout morphisme de A dans B dans la catégorie C induit une transformation naturelle de hB dans hA. Le lemme de Yoneda affirme que toute transformation naturelle de hB dans hA est de cette forme ; mieux, il caractérise l’ensemble des transformations naturelles de hA dans n’importe quel foncteur de C dans Ens. Le foncteur h est le plongement de Yoneda."

il faut comprendre que tout objet dans n’importe quelle catégorie dite "petite" (c’est a dire que la collection des flèches entre deux objets est toujours un ensemble, alors que certaines collections "trop grosses" pour échapper au paradoxe de Russell ne sont pas des ensembles) permet immédiatement de définir deux ensembles : celui des flèches arrivant sur l’objet , et celui des flèches en partant.

On vérifie alors facilement que l’opération qui associe à cet objet à l’un de ces deux ensembles de morphismes est de nature fonctorielle, si nous faisons cela pour tous les objets de la catégorie de départ, cela nous donne donc deux foncteurs de cette catégorie C vers la catégorie des ensembles Ens (ou en anglais la catégorie Set), l’un de ces foncteurs étant covariant, l’autre contravariant (renversant le sens des flèches), ce qui est la définition d’un préfaisceau :

Préfaisceaux en théorie des catégories

et les catégories de préfaisceaux (les morphismes étant les transformations naturelles entre ces foncteurs que sont les préfaisceaux) sont l’exemple paradigmatique d’un topos :

Transformation naturelle ou morphisme de foncteurs

Attention :

Ce qu’il faut bien comprendre c’est que l’on n’associe pas seulement à un objet quelconque A de la catégorie C de départ les deux ensembles de morphismes qui aboutissent à lui ou partent de lui, mais bien les foncteurs , qui sont des préfaisceaux donc, qui associent à un autre objet B de la catégorie C l’ensemble des morphismes allant de B vers A, ou bien allant de A vers B; si l’on fait cela en faisant varier B mais laissant A fixé, on a donc deux foncteurs de C vers Ens, des préfaisceaux donc, associé à A, et l’on peut faire cela pour tout objet A, donc au total on a bien des foncteurs allant de C vers la catégorie, qui est un topos, des préfaisceaux sur C, plongement de Yoneda

Le lemme affirme alors en le démontrant qu’il y a un isomorphisme entre les morphismes entre deux objets d’une catégorie et les morphismes (qui sont des transformations naturelles) entre les foncteurs de Yoneda associés à ces objets.

Les morphismes en théorie des catégories jouent le rôle des relations, les objets celui des "substances".
Une interprétation profonde qui a ma préférence consiste à identifier un objet avec son morphisme identité, qui existe toujours selon les axiomes de la théorie : ainsi il n’y à plus de "substances", seulement des relations.

Comme le dit Franck Jedrzejewski page 31 :

"Il y a équivalence entre les objets et les points de vue sur ces objets. Le lemme illustre l’idée que sous couvert de l’Un-multiple l’Etre est relation. Il est donc faux de dire que le lemme de Yoneda est antideleuzien"

et page 32 ces observations très profondes de Mr Jedrzejewski

"Le lemme de Yoneda impose l’union du sujet et de l’objet. Il dit de manière mathématique qu’un objet est équivalent à l’ensemble des points de vue que nous lui portons. Il établit une équivalence entre l’objet objectivé et l’objet subjectives.il donne une démonstration à l’idée que l’objet et le sujet ne peuvent pas se prendre séparément. L’objet parce qu’il participe au sujet fonde la possibilité d’objectives le monde, mais aussi et de manière équivalente de le subjectiver"

doivent être rattachées à mon avis , ce avec quoi Franck Jedrzejewski ne serait sans doute pas d’accord, à l’idéalisme de la réflexion de Marie Anne Cochet interprétant la philosophie de Léon Brunschvicg , voir mes articles sur "la conversion spirituelle dans la philosophie de Brunschvicg" :

L’opération spirituelle au cœur de la pensée réflexive

et le plus récent :

Du pourquoi au comment

Rien ne serait plus faux que de confondre le "présent éternel" de la réflexion avec le sujet ou la subjectivité, car ce serait nier l’universalité du jugement et donc de la vérité, universalité dont la possibilité est démontrée par l’existence des mathématiques.

C’est l’opération spirituelle au cœur de la pensée réflexive qui crée les espaces et les temps, les lieux, l’antériorité comme la postériorité, et qui crée sujet comme objet !

Tel est le sens de l’idéalisme de Marie Anne Cochet, de Bachelard et de Brunschvicg.

Les citations suivantes du livre de Marie Anne Cochet sont à ce propos sans ambiguïté, et donnent selon moi la vraie signification du lemme de Yoneda, que Brunschvicg aurait sans doute admiré et commenté s’il avait vécu assez longtemps pour le connaître :

Page 15 :

"Il est absolument vain de parler d’antériorité intrinsèque, soit pour l’objet soit pour le sujet. Le terme d’antériorité exigeant un jugement de connaissance absolument inexistant dans l’instantané Seule l’intégration des moments dans le présent éternel de la réflexion peut poser un avant et un après"

Page 31 :

cette citation que j’ai déjà déjà donnée ici :

Pourquoi est ce que je m’acharne contre l’Islam ?

et qui pourrait résumer à elle seule tout cet article un peu touffu :

« La réalisation de l’Un séparé est aussi exclue que celle du transcendant, dont elle est l’expression.
Seule la participation à l’unité en acte est requise.
Elle est justifiée par l’inévitable et nécessaire présence de ce qui pense et de ce qui est pensé, par leur dépendance mutuelle, sans que jamais pensée pensante et pensée pensée puissent absorber l’une ou l’autre en elles l’acte unifiant, qui les crée précisément par les limites provisoires de la relation qu’il établit entre elles, dépendantes de lui.
Subjectivité et objectivité sont ainsi univoques et réciproques, dépendantes de leur rapport spirituel, éternellement présent. »

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